统计机器学习10：EM算法和GMM¶
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EM算法的全称是Expectation Maximization，是用于对含有隐变量的概率模型进行参数极大似然估计的一种迭代算法，隐变量就是数据集的特征中中没给出但是会影响预测结果的变量。
如果没有隐变量，那么在概率模型的估计中直接进行极大似然估计，然后求导即可，而有隐变量存在的时候导数不能直接求出，所以才需要使用EM算法。EM算法主要分成E和M两个主要步骤：
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E步骤：求解参数估计值的期望
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M步骤：使用极大似然法求出期望的最值，然后将得到的结果放到下一轮迭代中去
EM算法的推导¶
如果说一个概率模型中中含有可观测隐变量Z，那么我们在极大化观测数据Y关于模型参数的似然函数的时候，实际上的目标就变成了
而隐变量是没有观察到的，因此不能直接使用极大似然法进行参数估计，EM算法要解决的就是在隐变量条件下的参数估计问题，两个步骤的具体过程如下：
EM算法的输入输出要求¶
一般来说用Y表示观测随机变量的数据，用Z来表示隐变量的数据，Y和Z联合在一起一般称为完全数据，观测数据Y又叫做不完全数据，EM算法的求解需要知道观测变量数据Y，隐变量数据Z，联合概率分布\(P(Y,Z|\theta)\)，条件分布\(P(Z|Y,\theta)\)，最终输出的是模型的参数\(\theta\)
Q函数¶
完全数据的对树似然函数\(\log P(Y,Z|\theta)\)关于在给定观测数据Y和当前参数估计\(\theta_i\)下对于未观测数据Z的条件概率分布\(P(Z|Y,\theta)\)的期望称为Q函数，也就是：
EM算法求解过程¶
在选定好初始化参数\(\theta_0\)之后，需要进行：
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E步骤：假设第i次迭代的时候参数为\(\theta_i\)，则在第i+1次的E步骤，计算Q函数： $$ \begin{aligned} Q(\theta,\theta_i)&=E_Z[\log P(Y,Z|\theta)|Y,\theta_i]\ &=\sum_{Z}\log P(Y,Z|\theta)P(Z|Y,\theta_i) \end{aligned} $$
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M步骤：求使得\(Q(\theta,\theta_i)\)最大化的\(\theta\)作为本次迭代的新估计值： $$ \theta_{i+1}=\arg\max Q(\theta,\theta_i) $$
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重复E步骤和M步骤直到得到的参数收敛
EM算法的有效性和收敛性证明¶
这部分内容《统计学习方法》上有比较详细的证明，奈何暂时看不懂，就先不管了，先理解EM算法的基本步骤再说。
高斯混合模型GMM¶
高斯混合模型是指如下形式的概率分布模型： $$ P(y|\theta)=\sum_{k=1}^K\alpha_k\phi(y|\theta_k) $$ 其中\(\alpha_i\)表示权重系数，\(\phi(y|\theta_k),\theta_k=(\mu_k,\sigma^2_k)\)表示一个高斯分布的密度函数，即：
GMM的隐变量分析¶
高斯混合模型中的模型参数有:\(\theta=(\alpha_a,\dotsm\alpha_K,\theta_1,\dots,\theta_K)\)，我们需要估计每个高斯分量的权重和自身的模型参数，而GMM中是有隐变量的，我们可以这样来分析：首先根据每个不同的权重\(\alpha_k\)来选择第k个分量计算生成的观测数据\(y_j\)，这个时候的观测结果是已知的，但是反应观测数据来自第k个分量的数据是未知的，因此我们可以用一个隐变量\(\gamma_{jk}\)来表示第j个观测来自于第k的模型，因此该隐变量只能取0和1两个值。
这里很重要的一点，也是非常容易出现的误区就是，观测数据的生成并不是在K个高斯模型中分别生成然后按照权重比例组合，而是以权重比例为概率分布情况，随机选择出一个高斯模型来生成观测数据\(y_j\)，因此隐变量\(\gamma_{jk}(k=1,2,\dots,k)\)中有且仅有一个是1，剩下的都是0
GMM的求解和参数估计¶
EM求解GMM需要先输入N个观测数据，并输出一个高斯混合模型的参数，训练的过程主要分为E步骤和M步骤：
- E步骤：依据当前的模型参数，计算分模型k对观测数据的响应度，即：
- M步骤：根据隐变量计算出新一轮迭代所需要的模型参数，模型就根据这些参数产生：
其实这一部分一开始我没怎么看懂，后面有空继续看。